Cela découle du Théorème d'Ascoli, par caractère \((1-\frac dp)\)-Hölder des fonctions.

On a une inclusion dans un autre Espace de Sobolev si \(p\lt d\).

Le cas sous-critique nous donne alors un résultat.

On conclut par inclusion.

On utilise le Théorème de Fréchet-Kolmogorov.

Il faut tout d'abord montrer que \(A\) est bien définie dans \(L^2(\Omega)\to L^2(\Omega)\) \(\to\) cela se fait via une majoration de l'intégration.

La continuité se montre ensuite en utilisant le caractère lipschitz de \(f\).

L'existence et l'unicité se montre via le Théorème de représentation de Riesz.

Pour montrer que \(T\) est continue, on majore une partie de l'égalité \(\int_\Omega\langle{\nabla u,\nabla\phi}\rangle =\int_\Omega v\phi\) (via la continuité de la forme linéaire).

En prenant \(\phi=u\), on obtient une bonne majoration de continuité (et \(T\) est linéaire).

La majoration est valable pour toute image de \(f\), donc en particulier pour les images d'éléments de \(T(B)\).

\(T\) est continue, donc son image de \(B\) est bornée.

Le Théorème de Rellish nous donne la Compacité relative de \(T(B)\) dans \(L^2(\Omega)\).

\(A(\overline{T(B)})\) est donc compacte (image d'un compact par une fonction continue).

\(A(T(B))\subset A(\overline{T(B)})\) fermé (part continuité de \(A\)), donc \(\overline{A(T(B))}\) est compact en tant que fermé d'un compact.

Les questions précédentes nous permettent de vérifier les hyporhèses Théorème du point fixe de Schauder.

Conclusion : l'équation est vérifiée au sens faible.

On suppose qu'il existe deux points fixes.

Cela donne un résultat en soustrayant les deux équations.

Prendre le cas \(\phi=Tu-Tv\).

Le tout est négatif si \(f\) est décroissante, ce qui nous donne \(u=v\).

On peut montrer via le Théorème de Heine que \(f\) est uniformément continue.

On pose \(A\) un ensemble où \(\lvert f(u+v)-f(u)\rvert\) est facile à majorer (coïncide avec le complémentaire des ensembles dont on a la mesure de Lebesgue dans la majoration finale 😉).

On utilise une majoration triviale sur le complémentaire de \(A\).

La majoration finale s'obtient alors en combinant les deux majorations précédentes.

On va étudier une application précise, qui correspond à une étude de valeurs propres.

Elle est continue sur un compact, donc bornée d'après le Théorème des bornes atteintes.

Ce sont des valeurs propres qui sont \(\gt 0\), puisque \(M(x)\) est symétrique définie positive.

Il faut poser un produit scalaire bien choisi, faisant que \(\lVert\cdot\rVert_\gamma\) est bien une norme.

On peut majorer le produit des normes via l'Inégalité de Cauchy-Schwarz.

Le produit scalaire est une forme linéaire continue d'après le Théorème de représentation de Riesz, donc on a la convergence.

On a donc une inégalité qui passe à la \(\liminf\).

Par connexité par arcs de \(\Omega\), on a existence d'un arc reliant deux points (mais il n'est pas forcément dans \(H^1\) !).

On va donc essayer de trouver une interpolation affine par morceaux de \(\gamma\) (car les fonctions affines par morceaux sont \(\in H^1\)).

Pour s'assurer que cette interpolation reste dans \(\Omega\), on doit prendre un seuil \(\varepsilon\) entre deux points plus petite que la distance entre chaque point de \(\gamma\) et le complémentaire de \(\Omega\).

Cette interpolation fonctionne alors.